Gauss yêu cầu học sinh của mình là Riemann vào năm 1853 chuẩn bị một Habilitationsschrift (tiểu luận) về cơ sở của hình học. Trải qua nhiều tháng, Riemann phát triển lý thuyết của ông về các chiều không gian cao hơn. Khi cuối cùng ông đưa ra bài giảng vào năm 1854, cộng đồng toán học đón nhận với sự nhiệt tình.

Ngành học được thành lập bởi tác phẩm này là hình học Riemann. Riemann đã tìm ra một cách đúng đắn để mở rộng vào n chiều hình học vi phân của các mặt, mà chính Gauss đã chứng minh "theorema egregium" nổi tiếng. Đối tượng cơ sở là bây giờ được gọi là tenxơ độ cong Riemann. Đối với trường hợp các mặt, đại lượng này có thể rút xuống thành một số (vô hướng), dương, âm hay zero, trường hợp khác zero và hằng số được gọi là hình học phi Euclid.